A Bajza utca és szűkebb környezete a középkorban kaszáló, esetleg vetésterület lehetett. Egy 1764-es térképen a hely fátlan pusztaként szerepel, ám az 1811-es felmérés már szépen rendezett gyümölcsösöket ábrázol itt. A fásítást II. József törvénye nyomán Batthyány József hercegprímás kezdte meg, aki Pest városától vette bérbe ezt a határrészt. Az utca elődjét 1860-ban Viehtrag Weegnek, 1866-tól Hajtsár útnak, majd 1870-től Marhahajtó útnak nevezték. Mai nevét 1878-ban nyerte az 1858-ban elhunyt Bajza József költőről. 

Az utca ekkor a mai Podmaniczky és a Benczúr utca között húzódott. Damjanich utcáig történt hosszabbítására 1936-ban került sor. Az idősebbek talán még emlékeznek rá, valaha itt kanyargott a 46-os villamos.